Родился Александр Александрович 19 марта (н. ст.) 1904 года в усадьбе Александровское Кинешемского уезда (ныне Островский район) в дворянской семье. В начале жизни законченного образования он не получил — учился в Московском кадетском корпусе, окончить который не пришлось: свершилась революция.
Начались трудные годы поисков пристанища и средств к существованию: Москва, Украина (там жили родственники Григоровых) и, наконец, снова Александровское. Местные крестьяне по-доброму отнеслись к своим бывшим господам. Здесь и начался его основной трудовой путь: рабочего, бухгалтера, лесотехника. Работал Александр Александрович добросовестно и ответственно.
Времена беззаконий и репрессий трагически отозвались как в жизни самого А. А. Григорова, так и в судьбах всех членов его семьи. В первый раз его арестовали в 1930 году, освободив без малого через год. Второй арест отодвинулся на 10 лет. В 1940 году по обвинению в контрреволюционной деятельности (статья 58-10) его снова забрали, одновременно арестовали и жену Марию Григорьевну, урожденную Хомутову, а две их дочери, младшей из которых было 6 лет, фактически стали сиротами.
18 лет лагерей и ссылки — обыкновенный в то время срок для «контрреволюционеров» — выпали на долю Александра Александровича. Лагеря Карелии, Коми АССР, Дальнего Востока, Бирюса, Казахстан — места пребывания заключенного и ссыльного А. А. Григорова.
В 1956 году его реабилитируют «за отсутствием состава преступления», и семья Григоровых (к этому времени Александр Александрович встретится со своей женой и старшей дочерью Любовью) переезжает в Кострому. Началась жизнь по частным квартирам, работа бухгалтером на хлебокомбинате. В 1964 году— выход на пенсию.
С этого момента А. А. Григоров полностью отдается делу, которое стало самым глазным в его жизни, — работает в архивах и библиотеках страны, занимается генеалогией костромского дворянства, собирает и классифицирует массу самых разных сведений: по истории русского военно-морского флота, о роде Пушкиных, о декабристах — уроженцах Костромской губернии, о костромских участниках войны 1812 года, об усадьбе Щелыково и ее владельцах, о солигаличском художнике Григории Островском и др. Он написал родословную Лермонтова, составил подробные списки десятков дворянских родов: Катениных, Лермонтовых, Черевиных, Невельских и др.
К нему приходит известность в кругах исследователей — архивных и музейных работников, литературоведов, историков, краеведов, просто людей, интересующихся отечественной историей и культурой. Его знают, ему пишут из всех уголков страны, из-за рубежа. Почти нет такого вопроса, на который бы Александр Александрович не мог исчерпывающе ответить. К нему идут и едут, и здесь, в доме 31 по ул. Крупской, находят приветливую встречу и готовность помочь.
Во времена, когда краеведение официально не запрещалось, но и не поощрялось А. А. Григоров занимается активной его популяризацией: посылает свои статьи в областные и районные газеты (которые далеко не всегда охотно и полностью их печатали, хотя за 1971—1988 гг. опубликовано около 100 его работ), выступает перед работниками музеев, библиотек, архивов.
По инициативе и ходатайству областного отделения Всероссийского фонда культуры в конце марта 1989 года Александру Александровичу присваивается звание Почетного гражданина города Костромы, чуть позже назначается персональная пенсия местного значения, Активисты Фонда культуры заканчивают подготовку к изданию сборника его трудов. Но времени на жизнь уже не остается. 8 октября 1989 года А. А. Григоров умирает.
Его похоронили на заволжском кладбище рядом с женой — любимой и верной подругой.
К сожалению, при жизни этого замечательного ученого увидели свет только 4 книги, написанные А. А. Григоровым в соавторстве с другими исследователями: «Вокруг Щелыкова» (Ярославль, 1972), «Новые открытия советских реставраторов. Солигаличские находки» (М., Сов. худ., 1976), «Костромичи на Амуре» (Ярославль, 1979), «Спасенная красота» (М., «Просвещение», 1986). Большая часть его работ осталась неизданной.
